Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.

§ 11. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

511. Решить уравнение: y'' + y' - 2y = 0.

512. Решить уравнение: y'' + 4y' + 3y = 0.

513. Решить уравнение: y'' - 2y' = 0.

514. Решить уравнение: 2y'' - 5y' + 2y = 0.

515. Решить уравнение: y'' - 4y' + 5y = 0.

516. Решить уравнение: y'' + 2y' + 10y = 0.

517. Решить уравнение: y'' + 4y = 0.

518. Решить уравнение: y''' - 8y = 0.

519. Решить уравнение: yIV - y = 0.

520. Решить уравнение: yIV + 4y = 0.

521. Решить уравнение: yVI + 64y = 0.

522. Решить уравнение: y'' - 2y' + y = 0.

523. Решить уравнение: 4y'' + 4y' + y = 0.

524. Решить уравнение: yV - 6yIV + 9y''' = 0.

525. Решить уравнение: yV - 10y''' + 9y' = 0.

526. Решить уравнение: yIV + 2y'' + y = 0.

527. Решить уравнение: y''' - 3y'' + 3y' - y = 0.

528. Решить уравнение: y''' - y'' - y' + y = 0.

529. Решить уравнение: yIV - 5y'' + 4y = 0.

530. Решить уравнение: yV + 8y''' + 16y' = 0.

531. Решить уравнение: y''' - 3y' + 2y = 0.

532. Решить уравнение: yIV + 4y'' + 3y = 0.

533. Решить уравнение: y'' - 2y' - 3y = e4x.

534. Решить уравнение: y'' + y = 4xex.

535. Решить уравнение: y'' - y = 2ex - x2.

536. Решить уравнение: y'' + y' - 2y = 3xex.

537. Решить уравнение: y'' - 3y' + 2y = six x.

538. Решить уравнение: y'' + y = 4 sin x.

539. Решить уравнение: y'' - 5y' + 4y = 4x2e2x.

540. Решить уравнение: y'' - 3y' + 2y = x cos x.

541. Решить уравнение: y'' + 3y' - 4y = e-4x + xe-x.

542. Решить уравнение: y'' + 2y' - 3y = x2ex.

543. Решить уравнение: y'' - 4y' + 8y = e2x + sin 2x.

544. Решить уравнение: y'' - 9y = e3x cos x.

545. Решить уравнение: y'' - 2y' + y = 6xex.

546. Решить уравнение: y'' + y = x sin x.

547. Решить уравнение: y'' + 4y' + 4y = xe2x.

548. Решить уравнение: y'' - 5y' = 3x2 + sin 5x.

549. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 2y' + 2y = ex + x cos x.

550. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' + 6y' + 10y = 3xe-3x - 2e3x cos x.

552. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' + 7y' + 10y = xe-2x cos 5x.

553. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 2y' + 5y = 2xex + ex sin 2x.

554. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 2y' + y = 2xex + ex sin 2x.

555. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 8y' + 17y = e4x(x2 - 3x sin x).

556. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y''' + y' = sin x + x cos x.

557. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y''' - 2y'' + 4y' - 8y = e2x sin 2x + 2x2.

558. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 6y' + 8y = 5xe2x + 2e4x sin x.

559. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' + 2y' + y = x(e-x - cos x).

560. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y''' - y'' - y' + y = 3ex + 5x sin x.

562. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 9y = e-3x(x2 + sin 3x).

563. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): yIV + y'' = 7x - 3 cos x.

564. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' + 4y = cos x * cos 3x.

566. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 4y' + 5y = e2x sin2 x.

568. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 2y' + 2y = (x + ex)sin x.

569. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): yIV + 5y'' + 4y = sin x * cos 2x.

570. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' - 3y' + 2y = 2x.

572. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' + 4y' + 3y = ch x.

573. Написать частное решение с неопределенными коэффициентами (числовых значений коэффициентов не находить): y'' + 4y = sh x * sin 2x.

575. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y'' - 2y' + y = ex/x.

576. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y'' + 3y' + 2y = 1/(ex + 1).

577. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y'' + y = 1/sin x.

578. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y'' + 4y = 2 tg x.

579. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y'' + 2y' + y = 3e-x sqrt(x + 1).

580. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: y'' + y = 2 sec3 x.

581. Решить дифференциальное уравнение способом вариации постоянных: x3(y'' - y) = x2 - 2.

582. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y'' - 2y' + y = 0; y(2) = 1, y'(2) = -2.

583. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y'' + y = 4ex; y(0) = 4, y'(0) = -3.

584. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y'' - 2y' = 2ex; y(1) = -1, y'(1) = 0.

585. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y'' + 2y' + 2y = xe-x; y(0) = y'(0) = 0.

586. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y''' - y' = 0; y(0) = 3, y'(0) = -1, y''(0) = 1.

587. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: y''' - 3y' - 2y = 9e2x; y(0) = 0, y'(0) = -3, y''(0) = 3.

588. Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям: yIV + y'' = 2 cos x; y(0) = -2, y'(0) = 1, y''(0) = y'''(0) = 0.

589. Решить уравнение Эйлера: x2y'' - 4xy' + 6y = 0.

590. Решить уравнение Эйлера: x2y'' - xy' - 3y = 0.

591. Решить уравнение Эйлера: x3y''' + xy' - y = 0.

592. Решить уравнение Эйлера: x2y''' = 2y'.

593. Решить уравнение Эйлера: x2y'' - xy' + y = 8x3.

594. Решить уравнение Эйлера: x2y'' + xy' + 4y = 10x.

595. Решить уравнение Эйлера: x3y'' - 2xy = 6 ln x.

597. Решить уравнение Эйлера: x2y'' - 6y = 5x3 + 8x2.

598. Решить уравнение Эйлера: x2y'' - 2y = sin ln x.

599. Решить уравнение Эйлера: (x - 2)2y'' - 3(x - 2)y' + 4y = x.

600. Решить уравнение Эйлера: (2x + 3)3y''' + 3(2x + 3)y' - 6y = 0.

601. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y'' + 2y' + y = cos ix.

602. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y'' - 2y' + y = xex sin2 ix.

603. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y'' + 2iy = 8ex sin x.

604. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: y'' + 2iy' - y = 8 cos x.

610. Применяя различные методы, решить уравнения 601–611: x2y'' - xy' + y = ln x/x + x/ln x.

612. Какие условия достаточно наложить на функцию f(x), чтобы все решения уравнения задачи 611 (y'' + y = f(x)) оставались ограниченными при x → +∞?

613. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данное частное решение: y1 = x2ex...

615. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данное частное решение: y1 = x sin x.

616. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данное частное решение: y1 = xex...

617. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данные частные решения: y1 = xex,...

618. Построить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (возможно более низкого порядка), имеющее данные частные решения: y1 = x, y2...

619. При каких a и b все решения уравнения y'' + ay' + by = 0 ограничены на всей числовой оси -∞ < x < +∞?

620. При каких a и b все решения уравнения y'' + ay' + by = 0 стремятся к нулю при x → +∞?

623. При каких a и b каждое решение уравнения y'' + ay' + by = 0 обращается в нуль на бесконечном множестве точек x?

624. При каких a и b все решения уравнения y'' + ay' + by = 0 удовлетворяют соотношению y = o(e-x) при x → +∞?

625. Для заданного b > 0 подобрать такое a, при котором решение уравнения y'' + ay' + by = 0 с начальными условиями y(0) = 1, y'(0) = 0 возможно быстрее стремится к нулю при x →...

628. Найти периодическое решение уравнения x'' + x' + 4x = eiωt и на комплексной плоскости начертить кривую, которую пробегает амплитудный множитель этого решения при изменении...

629. Дано уравнение y'' + ay' + by = f(x), причем |f(x)| ≤ m (-∞ < x < ∞), а корни характеристического уравнения λ2 < λ1 <...

634. Частица массы m движется по оси Ox, отталкиваясь от точки x = 0 с силой 3mr0 и притягиваясь к точке x = 1 с силой 4mr1, где r0 и r1 –...

635. Электрическая цепь состоит из последовательно включенных источника постоянного тока, дающего напряжение V, сопротивления R, самоиндукции L и выключателя, который включается при t =...

639. Последовательно включены источник тока, напряжение которого меняется по закону E = V sin ωt, сопротивление R и самоиндукция L. Найти силу тока в цепи (установившийся режим).